NOMBRES PREMIERS PRIMAIRES ET NOMBRES PREMIERS SECONDAIRES René-Louis Clerc (avril 2025) ((*))

-ABSTRACT
PRIMARY AND SECONDARY PRIMES
Number theory is certainly one of the first mathematical disciplines tackled by man. The earliest traces of prime numbers date back to 20,000 B.C. on the Ishango bone found in the Congo, but it was Eratosthenes who established prime numbers 200 years before Christ.
And since then, as essential building blocks of number theory, and perhaps, directly or indirectly, of all mathematics, they continue to attract more and more researchers ([1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], ...).
Here, we propose a new approach based on numerous numerical experiments; to this end, we generalize (§4 of [19], [21]) by considering families of certain odd numbers pp with r digits C_i all non-zero (in decimal representation C₁C₂...C_r for r >= 2), which we will call preprimes; the sets of 0-successor primes (in decimal expression C₁[0]₁C₂[0]₂...[0]_r-1C_r, with [0]_i representing z_i zeros, z_i >= 0) of these preprimes will constitute families of primes with exactly r non-zero digits (those of pp and in the same order) and a certain number of zeros.
These various families are, of course, infinite sets and contain, for increasing z_i (and thus increasing size numbers), primes that 'almost' only have zeros, which will define, for given (and ordered) C_i in number r, all the (possible) primes constructed with these C_i (in the same order) and intermediate zeros.
Thus, we will distinguish between primary primes, without a zero in their decimal representation, and secondary primes, with at least one zero in their expression. By defining the preprimes pp, particular odd integers (which verify a certain property PPR, and which can be primary primes) without a zero in their decimal expression, and the 0-successor primes of these pp, we will show that every pp generates an infinite family of secondary primes {pp}, which allows us to propose a new approach, or even classification, of prime numbers.
We'll show that any primary prime gives rise to an infinite number of secondary primes, whereas a secondary prime can define at best only one primary prime, which clarifies the generic nature of primary primes, hence their name.
What's more, as soon as we move into an interval [2, M] with M greater than a certain M* to be determined, the first secondaries are more numerous than the first primaries, and become more numerous as M increases.
In [2, 3*10¹⁰], we'll determine the maximum number of consecutive primes only of primary type and the maximum number of consecutive primes only of secondary type, the latter being by far the greater of the two. We will state a conjecture about the behavior of these maxima in N.
An online simulation for determining 0-successor primes of a preprime is proposed.

- Mathematics Subject Classification-MSC2020: 11A41, 11N05, 68W30.
- Keywords: prime numbers, distribution of prime numbers, numerical experiments with prime numbers.

- 1 - INTRODUCTION

La théorie des nombres est certainement une des premières disciplines mathématiques abordées par l'homme. Les plus anciennes traces des nombres premiers remonteraient à 20.000 ans avant notre ère sur l'os d'Ishango retrouvé au Congo, mais c'est avec Eratosthène que 200 ans avant Jésus-Christ les nombres premiers se sont imposés.
Et depuis, briques essentielles de la théorie des nombres, et peut-être, directement ou indirectement, de toutes les mathématiques, ils continuent d'attirer de plus en plus de chercheurs ([1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], ...).
Nous proposons ici une nouvelle approche, à partir de nombreuses expérimentations numériques; pour cela, nous généralisons (§4 de [19], [21]) en considérant des familles de certains impairs pp à r chiffres C_i tous non nuls (d'écriture décimale C₁C₂...C_r pour des r >= 2), que nous appellerons des prépremiers; les ensembles des 0-successeurs premiers (d'expression décimale C₁[0]₁C₂[0]₂...[0]_r-1C_r, avec [0]_i représentant z_i zéros, z_i >= 0) de ces prépremiers constitueront des familles de premiers avec exactement r chiffres non nuls (ceux de pp et dans le même ordre) et un certain nombre de zéros intermédiaires.
Ces diverses familles sont, bien sûr, des ensembles infinis et contiennent pour des z_i croissants (et donc des nombres de taille croissante) des premiers qui n'ont 'presque' que des zéros et qui définiront, pour des C_i donnés (et ordonnés) en nombre r, tous les premiers (possibles) construits avec ces C_i (dans le même ordre) et des zéros intermédiaires.
On distinguera ainsi les premiers primaires, sans zéro dans leur écriture décimale, et les premiers secondaires, avec au moins un zéro dans leur expression. En définissant les prépremiers pp, entiers impairs particuliers (qui vérifient une certaine propriété PPR, et qui peuvent être des premiers primaires) sans zéro dans leur expression décimale, et les 0-successeurs premiers de ces pp, on montrera que tout pp engendre une famille infinie de premiers secondaires {pp} ce qui permet de proposer une nouvelle approche, voire classification, des nombres premiers.
On montrera que tout premier primaire engendre une infinité de premiers secondaires, alors qu'un premier secondaire ne peut définir au mieux qu'un seul premier primaire, ce qui précise le caractère générique des premiers primaires d'où leur nom.
En outre, dès que l'on se place dans un intervalle [2, M] avec M supérieur à un certain M* que l'on déterminera, les premiers secondaires sont plus nombreux que les premiers primaires, et deviennent d'autant plus nombreux que M croît.
Dans [2, 3*10¹⁰], on déterminera le nombre maximum de premiers consécutifs uniquement de type primaires et le nombre maximum de premiers consécutifs uniquement de type secondaires, ce dernier étant de très loin le plus grand des deux. On énoncera une conjecture sur le comportement de ces maximums dans N.
Une simulation en ligne pour déterminer des 0-successeurs premiers d'un prépremier est proposée.

- 2 - PREMIERS PRIMAIRES ET PREMIERS SECONDAIRES.

On se propose de définir une forme de tri, voire de hiérarchie, des nombres premiers en distinguant ceux qui s'expriment (en base décimale) uniquement avec des chiffres non nuls (on parlera de premiers primaires) et ceux qui s'expriment avec au moins un zéro (nommés premiers secondaires).
- 2 - 1 - PREPREMIERS ET 0-SUCCESSEURS.

- DEFINITION 1 - On appellera prépremier, noté pp, soit un des premiers 2, 3, 5, 7, soit un entier impair à r (r >= 2) chiffres, non divisible par 3 ni par 5, sans aucun 0 dans son expression décimale et différent d'un repdigit ((+)) de 7.

Les prépremiers sont donc soit des premiers qui s'expriment sans zéro, soit des nombres (impairs) composés supérieurs à 10, sans zéro dans leur écriture décimale, différents de tout produit 7*11_n, n > 1, 11_n représentant un quelconque repunit ((+)) à au moins deux chiffres (ou encore différents de (10ⁿ - 1)*7/9), du type i*j*k* ..., avec i, j, k, ... premiers quelconques strictement supérieurs à 5 non nécessairement différents.
On observera qu'un prépremier (sans zéro donc dans son écriture décimale) peut avoir un ou des facteurs premiers contenant un ou des zéros. Ainsi 1717 = 17*101 est un prépremier, 1221191 = 101*107*113 aussi, de même que 68386495941292315261231967862677 = 443*6367*144273743*168052306008073919.
Naturellement un nombre premier exprimé sans 0 est un prépremier mais un prépremier n'est pas nécessairement un nombre premier.
Introduisons une propriété qui caractérisera un entier quelconque (avec ou sans 0 dans son écriture décimale).

- PROPRIETE PPR - (PPR pour prépremier ou preprime) On dira qu'un entier à au moins deux chiffres, n = C1C2...Ci...Cr, C1 > 0, r > 1, vérifie la propriété PPR si les quatre conditions suivantes sont assurées: n est impair; n ≠ 0(3); n ≠ 0(5); il existe au moins un Ci positif différent de 7 (condition équivalente à n différent d'un repdigit de 7).

Ainsi un prépremier supérieur à 10 est un entier qui s'exprime sans zéro et qui vérifie la propriété PPR.
Par ailleurs, tout nombre premier, avec ou sans zéro dans son expression décimale, verifie trivialement la propriété PPR.
Observons que les seuls prépremiers possibles parmi les repdigits sont les répunits 11_p avec p non divisible par 3 (comme 11, 1111, 11111, ...).
- REMARQUE 1 - LES REPUNITS PREMIERS
Les seuls repdigits qui peuvent être des nombres premiers sont des répunits 11_p avec un nombre p de 1 qui est lui-même premier; on connait 11 répunits premiers définis par: p = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207 ([OEIS3]).
Il existe bien sûr une infinité de tels répunits premiers.
Le caractère premier de p, condition nécessaire pour qu'un répunit soit premier, a été démontré ((++)) par Cino Hilliard en 2008.
Si l'on a pu vérifier numériquement que les sept plus petits répunits premiers sont bien des nombres premiers, les quatre derniers connus (notons par exemple que 11₂₇₀₃₄₃ est déjà le 1.027.034.319 ème nombre premier) sont plus difficiles à confirmer et ne sont considérés actuellement que comme des nombres premiers probables.
Un prépremier à un chiffre est un nombre premier, mais un prépremier supérieur à 10 n'est pas nécessairement un nombre premier.
Pour représenter un prépremier pp supérieur à 10, nous le noterons:
C₁C₂...C_r, avec r chiffres C_i, 1 <= i <= r, tous non nuls, r >= 2.
Observons que, nécessairement, le dernier chiffre C_r d'un prépremier est 1, 3, 7 ou 9 (comme d'ailleurs celui d'un nombre premier).

- DEFINITION 2 - On appellera 0-successeur d'un prépremier pp à r chiffres (r >= 2), C1C2...Cr, tout entier de la forme C1[0]1C2[0]2...Cr-1[0]r-1Cr, où les [0]i, 1 <= i <= r-1, sont des suites de zi zéros, zi >= 0, telles que ∑izi > 0, l'ordre des Ci étant le même que dans pp.

Il y a donc toujours au moins un 0 dans un 0-successeur, et les [0]_i intermédiaires non vides sont au plus en nombre r-1, le dernier chiffre de tout 0-successeur étant toujours C_r c'est-à-dire 1, 3, 7 ou 9, comme pour le prépremier originel.
- REMARQUE 2 - Notations des 0-successeurs.
On allègera quelquefois la notation d'un 0-successeur en C₁[0]C₂[0] ...C_r-1[0]C_r, et pour l'écriture des 0-successeurs de grande taille, on utilisera aussi la notation [z_i] pour [0]_i, soit C₁[z₁]C₂[z₂]...C_r-1[z_r-1]C_r pour un 0-successeur. Par exemple, on rencontrera plus bas le premier 1[830]2[44]3[24]7, un 0-successeur du premier 1237.
Les prépremiers 2,3,5,7 n'ont trivialement pas de 0-successeur.
Par rapport aux 0-successeurs de [21] (où un seul [0] intervenait et devait donc être non vide), on doit considérer ici que les [0]_i peuvent être vides mais qu'il y a toujours au moins un zéro dans l'écriture décimale d'un 0-successeur (∑_iz_i > 0).
Cette possibilité des [0] qui peuvent être vides est essentielle pour que, par exemple, 3[0]4[0]1 contienne aussi les 34[0]1 et les 3[0]41, c'est-à-dire pour qu'à partir d'un pp on obtienne avec la définition 2, TOUS les 0-successeurs de pp.
On observera qu'un 0-successeur d'un pp (supérieur à 10) vérifie, comme ce pp, la propriété PPR: la transformation qui associe un 0-successeur à un pp est stable pour la propriété PPR.
Inversement si un entier contenant au moins un zéro intermédiaire vérifie PPR, celui obtenu en supprimant tous ses zeros aussi, mais seul ce dernier est nécessairement prépremier (et quelquefois premier).
4009 (= 19*211) vérifie PPR et le prépremier 49 (=7*7) aussi.
100201 (= 97*1022) vérifie PPR et le prépremier 121 (=11*11) aussi.
4005103 (= 29*138107) vérifie PPR et le nombre premier 4513 aussi.
40050013 vérifie PPR et 4513 aussi et les deux sont premiers.
40500303 (= 3*641*21061) ne vérifie pas PPR, 4533 (= 3*1511) non plus et n'est donc pas un prépremier.
Si on appelle 0-prédécesseur d'un entier, celui obtenu en supprimant ses éventuels zéros, on peut dire que tout entier vérifiant PPR a un 0-prédécesseur (qui peut être lui-même) qui vérifie aussi PPR (sans être nécessairement premier).
Un prépremier pp a une infinité de 0-successeurs, mais tous ses 0-successeurs ont chacun le seul 0-prédécesseur pp.
Pour le prépremier pp = 143 (= 11*13), des 0-successeurs pourront être par exemple, 1043, 1403, 10043, 100043, 100403; ils vérifient tous PPR, seuls 100043 et 100403 sont premiers.
Observons qu'avec, au lieu de 0, un chiffre non nul C la notion de C-successeur ne serait pas associée à une bonne propriété stable et serait donc sans intérêt.

- DEFINITION 3 - Pour un prépremier pp, on appellera 0-successeur premier un 0-successeur de pp qui est un nombre premier. L'ensemble de tous les 0-successeurs premiers de pp sera noté {pp}: il contient TOUS les nombres premiers exprimés par les chiffres de pp dans le même ordre avec des zéros intermédiaires, en nombre au moins égal à un. Les ensembles {2}, {3}, {5}, {7} sont trivialement vides.

On notera que tout 0-successeur de 7*11_n, n >= 2, est nécessairement divisible par 7 et ne peut donc jamais être premier (ou si l'on préfère il n'existe pas de nombre premier à au moins 2 chiffres constitué uniquement de 7 et de 0), ce qui justifie bien la définiton 1 et la propriété PPR des prépremiers; si les {7*11_n, n >= 2} sont donc trivialement vides, ce n'est pas le cas des {7ⁿ, n >= 2} (voir plus bas {49} ou {343} par exemple).
Les éléments de {pp} seront classés avec l'ordre naturel croissant à partir du plus petit 0-successeur premier.
- EXEMPLE 1 -
Les 0-successeurs premiers de pp = 143 (= 11*13) sont 100043, 100403, 104003, 1000403, 1000000403, 1004000003, 10000000403, 10000040003, 10004000003, ...; le prépremier 143 définit l'ensemble de premiers {143}.
Les 0-successeurs premiers de pp = 739 sont 7039, 7309, 70039, 70309, 73009, 7000309, 70003009, ...; le premier 739 définit l'ensemble de premiers {739}.
Les prépremiers pp (supérieurs à 10) sont les briques de base (entiers exprimés sans aucun zéro vérifiant la propriété PPR) qui engendrent tous les premiers de type 0-successeurs premiers des pp.
- REMARQUE 3 -
On pourrait adapter facilement les définitions de 0-successeurs et de 0-successeurs premiers à des entiers avec au moins un 0 dans leur expression décimale, mais ce serait sans grand intérêt car les entiers obtenus seraient déjà contenus dans tous les 0-successeurs (resp. 0-successeurs premiers) de l'entier de départ. Par exemple des 0-successeurs de 70309 seraient cherchés par 70[0]30[0]9 soit 7*10^(4+k) + 3*10^(2+r) + 9, pour k et r quelconques avec k + r > 0 et k = r + 2; on obtiendrait par exemple 7000309, 70003009 déjà générés à partir de 739, et en outre on ne récupèrerait pas 73009 par exemple. On utilisera donc la 0-succession essentiellement pour des entiers sans 0 dans leur expression décimale. En revanche le fait qu'un 0-successeur a toujours potentiellement des 0-successeurs milite clairement pour le caractère infini des ensembles {pp} pour pp supérieur à 11. On rappelle, en effet,que l'on a montré (propriété 1 de [21]) que 11 n'a qu'un seul 0-successeur premier, {11} = (101).
Tout 0-successeur (premier ou pas) d'un pp (> 11) vérifie PPR (et peut donc être premier); comme ces 0-successeurs sont en nombre infini, il doit exister parmi eux un plus petit premier j. En considérant les 0-successeurs de ce j (on applique la remarque 3), il doit exister (parmi cette infinité de nombres) un plus petit premier jj et on poursuit le raisonnement sur les 0-successeurs de jj pour construire {pp}, qui a ainsi toutes les raisons d'être infini; nos diverses expérimentations numériques allant aussi dans ce sens, nous énoncerons la conjecture suivante.

- CONJECTURE 1 - Pour tout prépremier pp supérieur à 11, l'ensemble de ses 0-successeurs premiers {pp} est un ensemble infini. Parmi les prépremiers à au moins deux chiffres, seul 11 ne possède qu'un 0-successeur premier, {11} = (101).

Y-a-t-il d'autre(s) pp (> 11) avec un nombre fini, éventuellement nul, de 0-successeur(s) ?
Nous conjecturons que non, mais ce dernier point ne modifie en rien l'étude qui va suivre sur le partitionnement de l'ensemble des premiers en premiers exprimés sans 0 et premiers contenant au moins un zéro dans leur écriture décimale; le processus numérique que l'on utilisera pour les exhiber et les calculer nous les donnera tous dans tout intervalle choisi, uniquement à partir de leur seule définition (cf. définiton 4 plus bas).
En revanche, le rôle constructif essentiel des prépremiers est d'être les générateurs des premiers avec au moins un zéro, chaque pp nous permettant de déterminer un sous-ensemble {pp} de tels premiers (avec les mêmes chiffres non nuls ordonnés que pp et des zéros) dont la réunion constitue l'ensemble de tous les premiers ayant au moins un zéro dans leur expression décimale.
Les ensembles de premiers {pp} (à au moins trois chiffres dont au moins un zéro) peuvent être classés avec l'ordre naturel sur les prépremiers qui les engendrent (on note cet ordre par <<):
{11} << {13} << {17} << {19} << {23} << {29} << {31} << ... << {49 = 7*7} << {53} << {59} << ... << {91 = 7*13} << {97} << ... << {119 = 7*17} << {121 = 11*11} << {127} << ... << {169 = 13*13} << {173} << ... << {323 = 17*19} << {329 = 7*47} << {331} << ... << {343 = 7*7*7} << {347} << ... << {493 = 17*29} << {497 = 7*71} << ... << {539 = 7*7*11} << {541} << {547} << ... << {1111 = 11*101} << {1117} << ...<< {1717 = 17*101} << ... << {2149 = 7*307} << {2153} << {2159 = 17*27} << {2161} << ...
(On pourrait aussi les classer par le plus petit 0-successeur de chaque ensemble mais cela semble plus compliqué car cela nécessiterait le calcul systématique du plus petit élément de chaque ensemble).
Exprimons quelques représentants des familles infinies de nombres premiers {pp}, pp supérieurs à 11:
{13} = (103, 100003, 1000003, 100000000003, 100000000000000003, 1000000000000000003, ...);
{17} = (107, 10007, 100000007, 1000000007, 1000000000000000000000007, 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007, ...);
{19} = (109, 1009, 10009, 1000000009, 1000000000000000009, 10000000000000000000009, ...);
{29} = (200009, 20000000000000000000000009, ...);
(notez que le deuxième premier de {29} possède 26 chiffres, les deux suivants en ont 456 et 762)
{49 = 7*7} = (409, 40009, 400009, 400000009, 4000000009, 40000000000000000000000000009, 400000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009, ...);
(notez que le septième premier de {49} possède 192 chiffres)
{83} = (80000000000000000000000000000003, 8000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003, ...);
(ici le plus petit 0-successeur premier possède 32 chiffres et le suivant 212)
{91 = 7*13} = (9001, 90001, 900001, 9000000001, 90000000000000000000001, ...);
{169 = 13*13} = (1069, 1609, 10069, 100069, 100609, 160009, 1000609, 1060009, 10000609, 10060009, ...);
{323 = 17*19} = (3023, 3203, 30203, 32003, 300023, 3002003, 3200003, 30000023, 30200003, 300020003, ...);
{343 = 7*7*7}=(30403, 300043, 3040003, 30400003, 3000000403, 3000400003, ... );
{493 = 17*29}=(4093, 4903, 40093, 40903, 49003, 400093, 400903, 490003, 4000093, ...);
{539 = 7*7*11} = (5039, 5309, 50000309, 50300009, 503000009, 5000000039, 5000003009, 5000300009, ... );
{1111 = 11*101} = (10111, 1011001, 1100101, 10010101, 10100011, 101001001, 1000001011, 1000010101, 1010000011, ...) ([OEIS6]);
{2149 = 7*307} = (20149, 201049, 214009, 2001049, 2001409, 2014009, 2100409, 20010409, 20014009, ...);
{11111 = 41*271} = (101111, 10011101, 10101101, 10110011, 10111001, 11000111, 11100101, 100100111, 100111001, ...) ([OEIS7]);
{1111111 = 239*4649} = (11110111, 11111101, 101101111, 101111011, 110111011, 111010111, 1001110111, 1010011111, 1011110011, ...) ([OEIS8]).
La réunion de tous les ensembles {pp} définit tous les premiers possédant au moins deux chiffres non nuls et au moins un zéro.

- PROPRIETE 1 - Tous les premiers avec au moins un zéro de la forme C1[0]C2[0]...[0]Cr font partie de la suite infinie des 0-successeurs premiers du prépremier C1C2...Cr, r >= 2.

- EXEMPLE 2: prépremiers à trois chiffres donnés.
Pour tous les prépremiers construits avec les trois chiffres 1, 3, 4 nous aurons les ensembles de 0-successeurs premiers suivants (seul 431 est premier):
{431} = (40031, 400031, 403001, 4000301, 4003001, 40003001, 400000301, ...);
{341} = (3041, 30000041, 30000401, 3000000401, 30004000001, 300000000401, ...);
{413} = (4013, 40013, 4001003, 40100003, 4000001003, 4000100003, 40001000003, ...);
{143} = (100043, 100403, 104003, 1000403, 1000000403, 1004000003, 10000000403, ...);
On peut les ordonner par
{143 = 11*13} << {341 = 11*31} << {413 = 7*59} << {431}.
(Observons qu'un classement par le plus petit 0-successeur donnerait {143} comme le plus 'grand' au lieu du plus 'petit').
La réunion de ces 4 ensembles (infinis) définit TOUS les premiers possédant exactement les trois chiffres non nuls 1, 3, 4 et au moins un zéro (et possédant donc au moins 4 chiffres); on notera cet ensemble {1,3,4;[0]}:
{1,3,4;[0]} = {143} ∪ {341} ∪ {413} ∪ {431}.
Ainsi 3*10² + 4*10 + 1 engendre l'infinité de premiers de la forme:
3*10^a + 4*10^b + 1, avec a >= 2, a > b >= 1.
- EXEMPLE 3: quelques 0-successeurs premiers du premier 421:
4021, 4201, 420001, 4002001, 40000021, 4000002001, 40000200001, 400000020001, 400000200001, 4000000002001, 40000020000001, 400000000000201, 400000000020001, 400000200000001, 420000000000001, 4000000000000021, 40000000000020001, 40020000000000001, 4000020000000000001, 400000000020000000001, 400000000200000000001, 420000000000000000001, 40000000000000000000021, 40000000000000000020001, 40000000000000000200001, 40000000002000000000001, 40000000020000000000001, 40000020000000000000001, 400000000000002000000001, 400000002000000000000001, 4000000000000002000000001, ...
Le premier 421 définit l'ensemble infini de premiers {421}.
- EXEMPLE 4: quelques 0-successeurs premiers du premier 233:
23003, 200033, 230003, 2000303, 2300003, 20000033, 20000303, 20003003, 20300003, 200000033, 200003003, 200300003, 230000003, 2000000033, 200003000003, 203000000003, 2000000000303, 2000000030003, 2000000300003, 2000003000003, 20000030000003, 200000000030003, 200000000300003, 200000003000003, 230000000000003, 20000000000000303, 20000000000003003, 20000000000300003, 20000000300000003, 20000300000000003, 200000000030000003, 200000030000000003, 200030000000000003, 2000000000000000303, 20003000000000000003, ...
Le premier 233 (terme initial de l'octuplet de l'année 2024 [20]) définit l'ensemble infini de premiers {233}.
- EXEMPLE 5: quelques 0-successeurs premiers du prépremier 913 (= 11*83)
9013, 9103, 900103, 910003, 9010003, 90000103, 90001003, 90010003, 9001000003, 900000000013, 90000000000103, 90000000001003, 90000010000003, 91000000000003, 900000001000003, 9000000001000003, 9010000000000003, 90000000001000003, 900000000000010003, 900000000010000003, 910000000000000003, 9000000010000000003, 900000000000000000103, 900000000000001000003, 900010000000000000003, 9000000000000010000003, 9000000000010000000003, ...
Le prépremier 913 définit l'ensemble infini de premiers {913}.
- EXEMPLE 6: quelques 0-successeurs premiers du premier 2693:
20693, 26903, 2000693, 2006093, 2006903, 2600903, 2690003, 20000693, 20600903, 26009003, 200069003, 260000093, 2000000693, 2000060903, 2000600093, 2006090003, 2060000093, 2060900003, 2600009003, 2609000003, 20000006093, 20006090003, 200000000693, 200006009003, 200060900003, 200609000003, 206090000003, 260090000003, 2000000600093, 2000000600903, 2000000609003, 2000060090003, 2000600090003, 2006090000003, 2006900000003, 20000000060903, 20000006009003, 20000609000003, 20060000000903, 20060000900003, 20600000090003, 20600009000003, 26000000090003, 26009000000003, 200000000600093, 200000006900003, ...
Le premier 2693 définit l'ensemble infini de premiers {2693}.
Dans ces ensembles infinis de 0-successeurs premiers, le nombre de 0 de ces premiers est très vite croissant avec leur nombre de chiffres. Pour de grandes valeurs, ces entiers n'auront presque que des 0: voir par exemple les 30 zéros du plus petit 0-successeur de 83, les 50 zéros du plus petit 0-successeur premier de 31[0]1 (paragraphe 5 de [21]) ou un 0-successeur de 421 avec ses 98 zéros:
40000000000000000000000000000000000020000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. (on le notera plus bas 4[35]2[63]1)
On peut aller beaucoup plus loin sans trop de difficulté. Par exemple, pour 2693 on peut facilement obtenir un 0-successeur premier à près d'un millier de 0 (quelques minutes de calcul avec un code utilisant le logiciel PARI/GP pour ce premier à 997 zéros):
20000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000060000000000000000000000000000090000000000000000000003.
On le notera (voir plus bas) plus économiquement 2[947]6[29]9[21]3.
- EXEMPLE 7: quelques 0-successeurs premiers de 2721413 (premier intervenant dans [20]).
200721413, 207214103, 270214013, 272001413, 272014103, 272140013, 272141003, 2007214103, 2070210413, 2072014013, 2702001413, 2702141003, 2720010413, 2720100413, 2720140013, 2720141003, 2721000413, 2721004103, 20070201413, 20072140103, 20700214103, 20721040103, 20721400103, 27000021413, 27021004103, ..., 20070002010004010003, ..., 200000000700000020000100000400000100000003, ...
Pour le premier 4697619593 (10 chiffres), on obtiendra 4609761950903 (13 chiffres), ..., 4060907619050900003 (19 chiffres), ... , 400600000000900076109000050900000003 (36 chiffres), ...

- PROPRIETE 2 - Pour définir tous les premiers p (p ∈ P), on a simplement besoin de tous les prépremiers pp (contenant en particulier tous les premiers sans 0); tous les premiers avec au moins un zéro dans leur expression décimale seront générés comme 0-successeurs premiers de ces derniers.

Ainsi le premier 18320500403 est généré par le prépremier 1832543 (qui est aussi premier); le premier 200559053 est généré par le prépremier 255953 = 311*823.
Tout nombre premier p₀, d'écriture décimale avec au moins un zéro, est le 0-successeur premier d'un prépremier, obtenu en supprimant le zéro ou tous les zéros de p₀.
Classer les nombres premiers p₀ est réalisé en classant les seuls prépremiers; les éléments essentiels d'un tel premier sont ses chiffres non nuls (dans l'ordre) bien plus que son nombre de zéros et son nombre total de chiffres.

- PROPRIETE 3 - Tout impair i, strictement supérieur à 11 et ne contenant pas de chiffre 0, qui vérifie, soit i = 0(3), soit i = 0(5), soit i = 7*11n avec n >= 2, ne possède aucun 0-successeur premier, c'est-à-dire que l'ensemble {i} correspondant est vide. Pour tous les autres impairs i supérieurs à 11, ne contenant pas de chiffre 0, l'ensemble des 0-successeurs premiers {i} est infini.

Tout premier p ∈ P étant soit un prépremier (sans 0 donc), soit un 0-successeur premier d'un prépremier, avec donc au moins un 0 dans son écriture décimale, on pourra noter, P = P* ∪ P₀; P* est l'ensemble des premiers sans 0 dans leur écriture décimale, notés p*, et P₀ l'ensemble des premiers avec au moins un zéro notés p₀.
L'ensemble des prépremiers noté PP est la réunion de P* et de l'ensemble des prépremiers non premiers noté I* (entiers non premiers supérieurs à 10, sans 0, vérifiant la propriété PPR; on les notera i*): PP = P* ∪ I*.
Ce PP engendre P₀, c'est-à-dire encore, que pour générer tout P₀, il faut construire tous les 0-successeurs premiers de tous les p* et de tous les i*.
P* = (2, 3, 5, 7, 11, 13, ..., 43, 47, 53, ..., 97, 113, 127, 131, ..., 997, 1117, 1123, 1129, 1151, ...);
(il existe 153 éléments de P* inférieurs à 1000)
P₀ = (101, 103, 107, 109, 307, 401, 409, ..., 907, 1009, 1013, ..., 1069, 1087, 1091, ..., 1109, 1201, 1301, 1303, 1307, 1409, ...);
(dans P₀ le plus petit élément est 101 (nombre palindrome par surcroît) et il en existe seulement 15 inférieurs à 1000)
I* = (49, 91, 119, 121, 133, 143, 161, 169, ..., 959, 961, 973, 979, 989, ..., 1199, 1211, 1219, 1241, ...).
(le plus petit élément de I* est 49 = 7*7 et il existe 90 éléments inférieurs à 1000)
En soulignant les éléments de I* dans PP on aura:
PP = (2, 3, 5, 7, 11, 13, ..., 43, 47, 49, 53, 59, ..., 89, 91, 97, ..., 113, 119, 121, 127, 131, 133, ..., 613, 617, 619, 623, 629, 631, 637, 641, ..., 1231, 1237, 1241, 1243, 1247, 1249, 1253, ...).
(on dénombre 243 éléments inférieurs à 1000 dans PP)
On notera bien qu'un premier supérieur à 11 sans 0, en tant que prépremier particulier, engendre facilement une infinité de premiers avec au moins un zéro; en revanche, un premier p₀ ne peut qu'éventuellement définir facilement un seul p*: il faut pour cela que le pp qui l'a généré soit un nombre premier.
Les p* > 11 sont donc largement plus génériques que les p₀.
- 2 - 2 - PARTITION DE P EN P* ET P₀.

- DEFINITION 4 - On va considérer que les premiers génériques ou vrais premiers appartiennent à P* et n'ont donc pas de 0 dans leur écriture décimale; on les nommera les premiers primaires, les autres étant les 0-premiers ou premiers secondaires (avec au moins un zéro dans leur représentation) qui appartiennent à P0.

Le classement proposé plus haut des ensembles infinis {pp} concernait donc les premiers secondaires.
Le prépremier 627469 = 233*2693 possède, par exemple, le 0-successeur premier 600200704006009 avec 9 zéros, mais aussi 60000200000000007000000004000060000000000009 avec 38 zéros (on le notera 6[4]2[10]7[8]4[4]6[12]9); ce sont des premiers secondaires générés par 627469.
On peut affirmer que tout nombre premier p* > 11 (sans 0 par conséquent) engendre une infinité de premiers constitués des mêmes chiffres que p*, dans le même ordre, et d'un certain nombre (non nul) de zéros intermédiaires: ils forment l'ensemble infini {p*} de ses 0-successeurs premiers p₀, soit de tous les nombres premiers secondaires générés par p*.
Inversement, tout premier secondaire p₀ (avec donc au moins un zéro dans son expression décimale), est engendré par un prépremier pp, obtenu en supprimant tous les zéros dans l'écriture décimale de p₀, ce pp n'étant pas nécessairement un nombre premier.
Le 0-prédécesseur d'un p₀ sera le pp qui l'a généré (non nécessairement premier donc).

- DEFINITION 5 - La transformation 0-prédécesseur, suppression de tous les 0 de p0, sera notée S0 ('sans 0'), S0(p0) = pp; S0 associe à un nombre premier secondaire p0 son 0-prédécesseur qui est le prépremier pp: S0 : p0 = C1[0]C2[0]...[0]Cr --> pp = C1C2...Cr, r >= 2, soit 10k1*C1 + 10k2*C2 + ...+ 10kr-1*Cr-1 + Cr --> 10r-1*C1 + 10r-2*C2 + ... +10*Cr-1 + Cr, k1 > k2 > ...> kr-1 >= 1; ki >= r-i, i = 1, .., r-1.

Il existe une infinité de p₀ qui ont pour image par S0 le même pp, c'est-à-dire encore que pour un pp donné à r (>= 2) chiffres, il existe des ensembles d'entiers k_i, i = 1, ..., r-1, strictement décroissants à partir de k₁, avec k_i >= r-i, i = 1, .., r-1, qui définissent des premiers secondaires, 0-successeurs premiers de pp en nombre infini, ce qui fait de S0 une application fortement non injective telle que S0(P₀) = PP et qui conserve donc la propriété PPR.

- DEFINITION 6 - L'application 0-succession Z Le processus numérique défini plus haut pour la construction des 0-successeurs premiers d'un prépremier sera appelé la 0-succession Z.

L'application Z associe à tout pp tous ses 0-successeurs premiers définis comme plus haut par des [0]_i, z_i >= 0, avec ∑_iz_i > 0; on associe ainsi à tout pp l'ensemble infini de tous les premiers secondaires construits sur ce pp, et en particulier à tout premier primaire p* > 11 l' ensemble infini de tous les premiers secondaires qu'il peut générer.
Z conserve bien sûr la propriété PPR et Z(PP) = P₀, alors que Z(P*) ⊂ P₀, c'est-à-dire que la 0-succession génère tous les premiers secondaires à partir de l'ensemble de tous les prépremiers mais seulement partiellement à partir de P*.
- NOTATION - La 0-expression pour les 0-successeurs.
Pour les 0-successeurs premiers (premiers secondaires) obtenus par la 0-succession Z, mais aussi pour tous les 0-successeurs on pourra utiliser la 0-expression:
dans l'écriture de tout 0-successeur, C₁[0]C₂[0]...[0]C_r, r >= 2, un [0] contenant z zéros sera noté [z].
Cette notation éclaire bien le partitionnement de l'ensembles des premiers secondaires en sous-ensembles {pp}.
Cet ensemble P₀ = ∪ {pp}, défini par tous les prépremiers pp = C₁C₂...C_r, r >= 2, C_i non nuls, est la réunion de tous les sous-ensembles infinis de premiers secondaires {pp} = (C₁[z₁]C₂[z₂]...C_r-1[z_r-1]C_r) pour tous les z_i possibles.
Par rapport à l'écriture scientifique classique, la notation en 0-expression permet une meilleure visualisation de l'ordre d'apparition des chiffres et surtout des zéros dans l'écriture décimale du nombre.
Ainsi, le premier secondaire 18320500403 (0-successeur du premier 1832543) sera noté 1832[1]5[2]4[1]3 (au lieu de 10¹⁰ + 8*10⁹ + 3*10⁸ + 2*10⁷ + 5*10⁵ + 4*10²+3); 1100000000231 0-successeur de 11231 (l'un et l'autre vérifient PPR mais ne sont pas premiers) sera noté 11[8]231 (au lieu de 10¹² + 10¹¹ + 2*10² + 3*10 + 1).
Plus le nombre de zéros sera grand, plus cette notation sera pratique et simple: le prépremier 45623=43*1061 génère, par exemple, le premier secondaire 4*10¹⁹⁸ + 5*10⁵¹+ 6*10³¹ + 2*10²³ + 3 que nous noterons 4[146]5[19]6[7]2[22]3 (on lit bien la répartition des 194 zéros intermédiaires parmi les 5 chiffres non nuls) ...
En dehors de 0 et 1, tous les entiers sont soit composés soit premiers; le tableau suivant montre la place de nos ensembles I*, P*, PP et P₀ inclus dans N.

Tableau 1 - Les entiers plus grands que 1 de N

Nombres composés		Nombres premiers
AUTRES ENTIERS, pairs ou impairs avec ou sans 0 (1)	I* ENTIERS sans 0 vérifiant PPR (donc impairs) (2)	P* Ensemble des PREMIERS PRIMAIRES (sans 0) (3)	P0 Ensemble des PREMIERS SECONDAIRES (avec au moins un 0) (4)
	PP = I* ∪ P* Ensemble des prépremiers

Quelques représentants des quatre colonnes:
(1): 4, 6, 8, 9, ..., 77, ..., 81, ..., 1305, ..., 10152, ..., 80053, ...
(2): 49, 91, 119, ..., 329, ..., 2123, ..., 9269, ...
(3): 2, 3, 5, 7, 11, ..., 83, ..., 227, ..., 853, ..., 2129, ...
(4): 101, 103, 107, ..., 409, ..., 1301, ..., 8005003, ...
On retiendra que l'image par la 0-succession Z d'un élément de PP (soit un i*, soit un p*) est un ensemble infini de premiers secondaires inclus dans P₀, l'image de PP par Z étant P₀, celle de P₀ par S0 étant PP.
On dira dans la suite indifféremment, PR ou premier primaire et PRS ou premier secondaire.
- REMARQUE 4 - Quelques PRS répertoriés dans OEIS ([OEIS1]).
Ces suites de PRS correspondent à quelques sous-ensembles infinis particuliers de P₀.
Il s'agit, soit de premiers cyclopes (par définition les nombres cyclopes ont un nombre impair de chiffres au moins égal à 3 et un seul 0 au milieu), soit de premiers avec des zéros groupés en leur centre, soit de suites de type {pp} avec des pp à 2 chiffres.
Les nombres premiers cyclopes, qui sont des PRS avec un seul 0 (A134809)
101, 103, 107, ...,607, ..., 12071, 12073, ..., 13063, ..., 88069, ..., 89069, ...;
les premiers à 2 chiffres non nuls, dont tous les chiffres internes éventuels sont des 0 (A069675)
(2, 3, ..., 97), 101, ..., 3001, 4001, ..., 8009, 9001, 9007, 10007, 10009, ..., 9000000001, ...;
les premiers cyclopes de Sophie Germain, qui sont des premiers de Sophie Germain ([14]) avec un seul 0 (A183058)
509, 809, 12011, 12041, 13049, ..., 39089, 41081, 42023, ...;
les premiers à nombre impair de chiffres et un ou des 0 groupés au milieu (A345728)
101, 103, ..., 907, 10007, 10009, ..., 10069, 10079, 10091, ....
Pour ce qui concerne des suites de C*10^k+D, premiers du type de nos {pp} à 2 chiffres, on trouve des listes de ces premiers ou des k définissant ces premiers comme, {13} (A159352), {17} (A159031), {19} (A088275), ..., {41} (A056806), ..., {53} (A177120), ..., {61} (A177132), ..., {91} (A056797), {97} (A096774).
Citons enfin les premiers coquins (naughty primes), premiers dans lesquels 'le nombre de zéros est supérieur au nombre de tous les autres chiffres' (A164968): 10007, 10009, 40009, 70001, 70003, 70009, 90001, ..., 300007, 400009, 500009, ..., et le 'plus petit premier coquin palindrome' de M. F. Hasler: 1003001.
- Les PRS PALINDROMES -
Il n'existe pas de PRS palindrome à nombre pair de chiffres.
Dans [10², 10⁶] il n'y a que 21 PRS palindromes: 101, 10301, 10501, ..., 90709, 91019, 94049 (le plus petit à 5 chiffres étant 10301).
Dans [10⁶, 10⁷], il y a exactement 101 PRS palindromes, de 1003001 à 9980899.
Le plus petit PRS palindrome à 9 chiffres est 100030001 (cf. les plus petits premiers palindromes à 2n-1 chiffres A028989).
Pour des premiers à au moins 10 chiffres, nous avons pu déterminer les plus petits PRS palindromes: citons par exemple, 1[23]6[23]1, 1[26]5[26]1, 1[28]8[28]1, ..., 1[70]9[70]1, ..., 1[236]5[236]1, ... Nous avons pu aller jusqu'au plus petit PRS palindrome à 971 chiffres, 1[484]5[484]1; on observera que le chiffre médian de tous ces premiers ne peut être que 3,5,6,8, ou 9.
- REPARTITION DES PR ET PRS PARMI TOUS LES PREMIERS -
La répartition des nombres premiers ne semble pas manifestement régulière, et nous ne savons pas l'analyser parfaitement, même si le théorème des nombres premiers (J. Hadamard) montre que lorsque x augmente indéfiniment, le rapport Π(x)*log x/x tend vers 1 (Π(x) étant la classique fonction exprimant le nombre de premiers inférieurs ou égaux à l'entier x).
En terme de raréfaction, on sait (A.-M. Legendre) que le nombre des premiers devient de plus en plus faible à l'infini avec une densité limite nulle, lim_{x ->∞} Π(x)/x --> 0.
Reprenons un exemple de R. Wilson dans [17] en considérant les 100 nombres premiers de part et d'autre de 10⁷: on compte 7 p* inférieurs et aucun supérieur, alors qu'il y a 2 p₀ au-dessous et 2 au-dessus ... les PRS seraient-ils mieux distribués ou plus faciles à analyser ? Probablement pas, ni les PR d'ailleurs !
Considérons la fonction Π₀(M) donnant le nombre de premiers secondaires p₀ (soit appartenant à P₀) inférieurs ou égaux à M ainsi que Π*(M) donnant celui des premiers primaires p* (soit appartenant à P*) inférieurs ou égaux à M.
Suivant l'intervalle considéré, avec un un code ((+++)) très simple, on obtient successivement pour Π*(M) et Π₀(M):
Tableau 2 - Répartition des nombres de PR et de PRS

[2, M]	Π*(M) = nombre de PR <= M	Π0(M) = nombre de PRS <= M
[2, 101]	25	1
[2, 10^3]	153	15
[2, 10^6]	52.303    soit + 99 %	26.185
[2, 10^8]	3.103.348    soit + 17 %	2.658.107
[2, 2.03*10^8]	5.640.139    soit + 0.8 %	5.595.649
[2, M*], M* = 203.850.433	5.640.139	5.640.139
[2, 2.04*10^8]	5.640.139	5.648.034    soit + 0.9 %
[2, 10^9]	24.649.318	26.198.216    soit + 6 %
[2, 10^10]	198.536.215	256.516.296    soit + 29 %
[2, 10^11]	1.616.808.581	2.501.246.232    soit + 54 %
[2, 5*10^11]	6.908.415.847	12.399.720.295    soit + 79 %
[2, 10^12]	13.287.264.748	24.320.647.270    soit + 83 %

[29.172.631.129, 29.172.632.989]	80 PR	0 PRS
[2*10^8, 211.111.128]	0 PR	580.493 PRS
[10^10, 11.666.911.126]	0 PR	48.140.745 PRS

- REMARQUE 5 - Commentaires sur le tableau 2.
Dans [2, 101], il y a 25 p* pour un seul p₀ et 27 pp.
Dans [2, 10³], il y a 153 p* et 15 p₀ ainsi que 243 pp.
Dans [2, 10⁹], Π(10⁹) = 50.847.534, le 50.847.534 ème premier valant 999.999.937 (c'est un p*); notons aussi que les ensembles I* et PP contiennent respectivement 104.490.841 et 129.140.159 éléments inférieurs à 10⁹.
Le tableau 2 nous montre que les PR sont plus nombreux jusqu'au voisinage inférieur de M*, puis au-dessus de M*, les PRS deviennent plus nombreux et leur prédominance augmente pour atteindre plus 83 % dans [2, 10¹²].
On peut préciser le voisinage de la borne M* et la déterminer exactement:
dans [2, 203.850.430] il y a 1 PR de plus que de PRS et dans [2, 203.850.435] il y a 1 PRS de plus que de PR; dans [2, M* = 203.850.433] il y autant de PR que de PRS (5.640.139).
Par ailleurs, on rappelle que chaque PR (appartenant à l'ensemble infini P*) et chaque prépremier non premier (appartenant à l'ensemble infini I*) génèrent une infinité de PRS (appartenant à l'ensemble infni P₀).
On est donc assez naturellement conduit à la propriété suivante.

- PROPRIETE 4 - Il existe un entier M* (= 203.850.433) tel que dans l'intervalle [2, M*] il y ait exactement autant de PR que de PRS (en nombre 5.640.139). Dans tout intervalle [2, M], pour M < M*, les PR sont plus nombreux et dès que M > M*, les PRS deviennent plus nombreux que les PR et cette dominance croît avec M.

Au voisinage de M*, on observe que dans l'intervalle [2.03*10⁸, 2.04*10⁸] il n'y a, comme premiers consécutifs, que des PRS, en nombre 52.385 et aucun PR.
Les deux dernières lignes du tableau 2 améliorent nettement ce résultat: dans [2*10⁸, 211.111.128] il existe nbS* = 580.493 PRS consécutifs (de 200.000.033 à 211.111.079) et aucun PR (les PR encadrant sont respectivement 199.999.991 et 211.111.129); cet intervalle avec, comme premiers, uniquement des PRS a une longueur de l'ordre de 11*10⁶ (11.111.128). Dans [2, 2.12*10⁸], il possède le plus grand nombre nbS* possible de PRS consécutifs (sans PR intermédiaire).
Pour un intervalle choisi [2, M], on déterminera le nombre maximum possible, noté nbS*(M), de PRS consécutifs, puis on calculera une suite ayant ce nombre d'éléments.
Ainsi si l'on se place dans l'intervalle [2, 3*10¹⁰], le nbS* (3*10¹⁰) devient nettement plus grand et on peut exhiber une bien plus longue suite de PRS consécutifs.

- PROPRIETE 5 - Dans [2, 3*1010], il existe (au moins) une suite constituée du nombre maximum nbS* (3*1010) = 48.140.745 de PRS consécutifs; elle va de 10.000.000.019 à 11.999.911.081 et les PR encadrant sont respectivement 9.999.999.967 et 11.999.911.127. Cette suite de PRS, de longueur légèrement inférieure à 2*10^9 (1.999.911.062) est précédée d'une suite de 11 PR (de 9.999.999.727 à 9.999.999.967) et suivie d'une suite de 23 PR (de 11.999.911.127 à 11.999.911.579).

Dans [2, 3*10¹⁰], on peut trouver de nombreuses autres suites qui ne sont que légèrement plus courtes: par exemple il y a une suite de 46.793.230 PRS consécutifs (de 20.000.000.089 à 21.111.111.107) encadrée par 18 PR consécutifs avant et par 12 PR après.
En considérant dans N des intervalles [2, M] avec des M supérieurs à 3*10¹⁰, on obtiendra des nbS*(M) de plus en plus grands.
Par exemple nous avons pu obtenir:
- au-delà de 2*10¹¹, une suite de nbS* = 426.546.020 PRS consécutifs de 200.000.000.041 à 229.999.997.093 (le PR suivant étant 229.999.997.113) et ce nbS* (qui est presque 10 fois le nbS*(3*10¹⁰) précédent) n'est peut-être même pas le maximum nbS*(2,2*10¹¹). Observons que cette suite de PRS de longueur légèrement inférieure à 3*10¹⁰ occupe plus du dixième de l'intervalle [2, 2,2*10¹¹].
- au-delà de 2*10¹², une suite de nbS* = 3.919.070.726 PRS consécutifs de 2.000.000.000.003 à 2.199.111.111.107 (suivis de 8 PR à partir de 2.199.111.111.161); cette suite possède près de 4 milliards de termes et une longueur de presque 2*10¹¹.
Il semble donc légitime d'énoncer la conjecture suivante.

- CONJECTURE 2 - Il existe dans N des intervalles aussi grands que l'on veut, dans lesquels il n'y a comme premiers consécutifs que des PRS.

Pour les PR, il y a certes dans [2, 100] une suite de 25 PR et aucun PRS, mais il n'y a certainement pas la même propriété que pour les PRS et il y a très probablement une limite supérieure au nombre maximum nbR* de premiers primaires consécutifs dans N. L'antépénultième ligne du tableau 2 donne le nombre maximum nbR*(3*10¹⁰).

- PROPRIETE 6 - Dans [2, 3*1010], il existe (au moins) une suite constituée du nombre maximum nbR*(3*1010) = 80 de PR consécutifs: elle va de 29.172.631.129 à 29.172.632.989 (intervalle de longueur 1860), les nombres premiers encadrant étant les PRS 29.172.631.087 et 29.172.633.001.

Contrairement aux PRS, il est assez difficile d'exhiber des suites de PR de longueurs croissantes bien au-delà de 80 et une conjecture assez différente de la précédente semble s'imposer.

- CONJECTURE 3 - Il existe dans N un plus grand entier fini nbR* (>= 80) tel qu'aucune suite de premiers consécutifs uniquement de type PR ne possède plus de nbR* éléments.

En prospectant au-delà de 10¹¹ et jusqu'à 10¹³, nous avons pu obtenir quelques suites d'au moins 80 PR et en particulier, une suite de 103 PR consécutifs de 1.293.238.552.117 à 1.293.238.554.983; cette plus longue suite de PR à 13 chiffres nous permet de déduire que nbR*(10¹³) >= 103.
On notera que l'on a tâché de déterminer, pour un intervalle donné, le nbR* (ou nbS*) maximum et non la plus longue suite de PR (ou PRS) consécutifs, car il peut exister plusieurs suites avec le même nombre d'éléments. Ainsi, les suites (111577, ..., 111997) et (347214247, ..., 347214997) possèdent toutes les deux 40 PR consécutifs; nous avons aussi obtenu deux suites avec 75, 76, 78, 80, 83 PPR ... et même quatre suites de 77 PR à 10 chiffres situées entre 4*10⁹ et 9*10⁹.
On retiendra que l'on a pu exhiber dans [2, 10¹³], une suite de 3.919.070.726 premiers consécutifs uniquement de type PRS, et seulement une suite de 103 PR consécutifs, ce qui nous a conduit à conjecturer que dans N, nbS* croît indéfiniment alors que nbR* est fini borné.
Compte tenu de l'ordre naturel croissant dans N avec l'apparition régulière de zéros intermédiaires, les deux propriétés et les deux conjectures précédentes sont assez cohérentes et illustrent bien la répartition dans N des PR et des PRS et la dominance naturelle du nombre de ces derniers au-delà de la borne M*.

- 3 - QUELQUES QUESTIONS LEGITIMES.

- QUESTION 1.
Pourquoi donner une telle importance à la présence ou pas de 0 dans l'expression d'un premier et pourquoi considérer des 0-successeurs et pas des 1, 2, 3 ...9-successeurs ?
Parce que seule l'adjonction de 0 ne perturbe pas la propriété PPR d'un pp, propriété qui doit être stable dans l'application de PP vers P₀ pour construire effectivement tous les nombres premiers secondaires.
Par ailleurs, nous avons déjà souligné (§4 de [19], [21]) le rôle des 0 dans l'écriture décimale des premiers pour manipuler et exhiber quelques PRS; on note aussi chez quelques auteurs de OEIS ([OEIS1]), l'intérêt porté à certains PRS (cf. la remarque 4 précédente) par le biais des nombres cyclopes (Omar E. Pol) ou des nombres coquins (G. L. Honaker Jr, Patrick De Geest), mais il restait, semble-t-il, à faire une réflexion systématique sur tous les PRS qui constituent P₀.
- QUESTION 2.
1) Etant donné un prépremier pp et un nombre z > 0 donné, existe-t-il un 0-successeur premier de pp avec exactement z zéros ?
Pas nécessairement, mais il existe une infinité de z > 0 qui définissent au moins un 0-successeur de pp avec z zéros. En revanche, il n'y a bien sûr, qu'un nombre fini de 0-successeurs d'un pp avec un nombre donné z de zéros.
2) Comment évolue le nombre de 0-successeurs d'un pp ?
Le nombre de 0-successeurs d'un pp est croissant avec la taille de ce pp mais aussi avec le nombre de chiffres de ces 0-successeurs:
- le pp 4.351 (= 19*229) en possède 488 d'au plus 40 chiffres et 3358 d'au plus 100 chiffres;
- le premier 4.357 en possède 509 d'au plus 40 chiffres et 3671 d'au plus 100 chiffres;
- le pp 13.573 (= 7*7*277) en possède 4.761 d'au plus 40 chiffres et 16.153 d'au plus 60 chiffres;
- le premier 111.521 en possède 31.178 d'au plus 40 chiffres et 180.748 d'au plus 60 chiffres.
- QUESTION 3.
Etant donné un nombre r (>= 2), comment exprimer tous les premiers primaires p*_r construits sur r chiffres non nuls et par la suite générer les familles infinies de 0-successeurs premiers de ces PR ?
Ils seront de la forme
p*_r = C₁*10^r-1 + C₂*10^r-2 + ... + 10*C_r-1 + C_r, avec des C_i, 1 <= i <= r-1, tous non nuls et C_r qui ne peut être que 1,3,7,9.
- EXEMPLE 8: tous les premiers primaires p*₅ à 5 chiffres, suivant le dernier chiffre C_r (1,3,7,9).
1) C_r = 1:
11131, 11161, 11171, 11251, 11261, 11311, 11321, 11351, 11411, 11471, 11491, 11551, 11621, 11681, 11731, 11821, 11831, 11941, 11971, 11981, 12161, 12211, 12241, 12251, 12281, 12391, 12421, 12451, 12491, 12511, 12541, 12611, 12641, 12671, 12721, 12781, 12791, 12821, 12841, 12911, 12941, ..., 99881, 99961, 99971, 99991.
2) C_r = 3:
11113, 11173, 11213, 11243, 11273, 11353, 11383, 11393, 11423, 11443, 11483, 11593, 11633, 11743, 11783, 11813, 11833, 11863, 11923, 11933, 11953, 12113, 12143, 12163, 12253, 12263, 12323, 12343, 12373, 12413, 12433, 12473, 12553, 12583, 12613, 12653, 12713, 12743, 12763, 12823, 12853, 12893, 12923, 12953, ..., 99793, 99823, 99833, 99923.
3) C_r = 7:
11117, 11177, 11197, 11257, 11287, 11317, 11437, 11447, 11467, 11497, 11527, 11587, 11597, 11617, 11657, 11677, 11717, 11777, 11827, 11867, 11887, 11897, 11927, 11987, 12157, 12197, 12227, 12277, 12347, 12377, 12437, 12457, 12487, 12497, 12517, 12527, 12547, 12577, 12637, 12647, 12697, 12757, 12917, 12967, ..., 99667, 99767, 99787, 99817, 99877.
4) C_r = 9:
11119, 11149, 11159, 11239, 11279, 11299, 11329, 11369, 11399, 11489, 11519, 11549, 11579, 11689, 11699, 11719, 11779, 11789, 11839, 11939, 11959, 11969, 12119, 12149, 12239, 12269, 12289, 12329, 12379, 12479, 12539, 12569, 12589, 12619, 12659, 12689, 12739, 12799, 12829, 12889, 12899, 12919, 12959, 12979, ..., 99839, 99859, 99929, 99989.
Le plus grand p*₅ est 99991, le plus grand p*₆ est 999983 et le plus grand p*₇ est 9999991 ...
Rappelons que si l'on a, pour un r donné fini, un nombre fini de premiers primaires p*_r, chacun de ces p*_r engendre une famille infinie {p*_r} de 0-successeurs premiers (PRS générés par p*_r).
De manière générale avec un nombre fini de premiers primaires p*_r, pour un r donné, on engendrera des familles infinies {p*_r} de PRS, pour tout p*_r > 11.
Rappelons que pour tout premier avec des 0 (qui vérifie donc PPR), l'entier obtenu par la transformation S0 (suppression de tous ses 0) vérifie PPR et est donc un prépremier.
- QUESTION 4.
Que dire du plus petit 0-successeur premier d'un prépremier (premier ou non) ?
Le plus souvent, il possède un nombre de zéros assez petit (strictement inférieur à 5):
17: 1[1]7,
29: 2[4]9,
73: 7[3]3,
143 (=11*13): 1[3]43,
317: 3[3]17,
443: 4[4]43,
739: 7[1]39,
841: 8[3]4[1]1,
2023 (= 7*47*17): 2[2]23,
2453 (= 11*223): 24[1]5[1]3,
11111 (= 41*271): 1[1]1111,
2721413: 27214[1]13,
7397653 (= 61*173*701): 7397[1]653,
79797977 (= 7*1153*9887): 79[1]79797[1]7,
1123457527 (= 59*19041653): 1123[1]457527,
mais le record pour les nombres à deux chiffres avec des 0-successeurs qui croissent très vite est pour le premier 83:
83: 8[30]3, 8[104]3, 8[112]3, 8[368]3, 8[1358]3, 8[6218]3, ... (cf. paragraphe 5 de [21])
- QUESTION 5.
P*, P₀ et tout {pp} sont-ils bien nécessairement des ensembles infinis comme P ?
Sachant que P est infini ils doivent l'être aussi, sinon il existerait dans chacun un plus grand élément ce qui est contradictoire avec l'infinité des nombres premiers.
En revanche il n'est pas facile d'exprimer des éléments de plus en plus grands de ces ensembles, comme pour P d'ailleurs; à ce propos signalons le plus grand premier récemment calculé ( GIMPS ) en octobre 2024, 2^136279841 - 1, nombe possédant 41.024.320 chiffres, et qui est un nombre de Mersenne (de la forme 2^p - 1 avec p premier).
Pour le premier 31 cherchons les 3*10^k + 1 premiers pour k <= 5000 (z = k-1):
{31} = (3[2]1, 3[6]1, 3[9]1, 3[27]1, 3[35]1, 3[66]1, 3[80]1, 3[146]1, 3[482]1, 3[642]1, 3[1019]1, 3[1899]1, 3[2619]1, ...)
Le plus grand connu est 3[665828]1 ([OEIS5]).
Si {31} était fini, il existerait un plus grand k*, or on peut toujours construire un 0-successeur d'un 0-successeur comme il a été rappelé banalement dans la remarque 3.
Mais c'est la belle et difficile démonstration de J. Maynard ([12]) sur l'infinité des premiers sans un certain chiffre donné dans leur écriture décimale, qui nous permet d'affirmer le caractère infini de P*(absence du chiffre 0). Chaque élément p* de P* engendrant une infinité de p₀, le caractère infini de P₀ et des {pp} se trouve aussi démontré.

- PROPRIETE 7 - La suite des nombres premiers sans 0 est infinie. La suite des nombres premiers avec au moins un 0 est infinie. La suite des 0-successeurs premiers de tout pp > 11 est infinie.

Tout sous-ensemble infini de premiers particuliers pourra être partitionné en éléments avec zéro et éléments sans zéro, c'est le cas par exemple pour les reimerps que nous allons envisager; on pourrait aussi traiter les premiers palindromes, les premiers permutables, les premiers de Sophie Gemain, les premiers de Mersenne, ... (et même les premiers de Marcel Pagnol de la forme n² - 2, n >= 2).
- REMARQUE 6 - NOMBRES REIMERPS
Par définition un nombre reimerp est un nombre premier tel que le nombre écrit (toujours en base décimale) dans le sens inverse soit aussi premier; l'ensemble des reimerps est lui aussi infini.
On exclut quelquefois de cette définion, ce que nous ne ferons pas, les nombres premiers palindromes (le nombre est identique à son écriture inverse); en revanche nous ne considèrerons que les reimerps à au moins deux chiffres.
On peut observer qu'aucun nombre premier (à au moins deux chiffres) débutant par 2, 4, 5, 6, ou 8 ne peut être un tel reimerp (son inverse serait pair ou divisible par 5).
Ainsi, parmi les entiers à au moins deux chiffres, alors qu'un nombre premier ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9, un reimerp ne peut commencer et se terminer que par 1, 3, 7 ou 9.
On peut facilement exhiber les reimerps primaires et les reimerps secondaires.
Reimerps primaires:
11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 149, 151, 157, 167, 179, 181, 191, 199, 311, 313, 337, 347, 353, 359, 373, 383, 389, 727, ...
Reimerps secondaires:
101, 107, 701, 709, 907, 1009, 1021, 1031, 1033, 1061, 1069, 1091, 1097, 1103, 1109, 1201, 1301, 1409, 1601, 1901, 3011, ...
Dans [11, 10³], on dénombre 47 reimerps primaires pour 5 reimerps secondaires, alors qu'il y a 164 premiers (le plus grand 997 étant le 168 ème premier).
Jusqu'à 10⁸ les reimerps primaires dominent, mais dès que l'on se place dans un intervalle suffisamment grand, les reimerps secondaires deviennent plus nombreux que les reimerps primaires:
dans [11, 5*10⁸], il y a 1.417.133 secondaires pour 1.367.815 primaires (+ 3,6 %);
la prédominance des secondaires est croissante au-delà:
dans [11, 10⁹], il y a 2.475.336 secondaires pour 2.339.877 primaires (+ 5,8 %);
dans [11, 10¹⁰], il y a 21.618.732 secondaires pour 16.815.861 primaires (+ 28,6 %).
On peut préciser le changement de dominance entre le nombre des reimerps PR et celui des reimerps PRS; il s'effectue pour une borne R* de l'ordre de 10⁸: R* = 104.280.850.
Dans [11, R*] il y a 332.817 reimerps primaires et autant de reimerps secondaires.
Dans tout intervalle [11, R] avec R > R*, les reimerps secondaires sont plus nombreux que les reimerps primaires (on rappelle que nos reimerps ont au moins deux chiffres et peuvent être des palindromes).
La valeur de la borne équivalente M* pour tous les premiers (propriété 4) était légèrement supérieure à 2*10⁸; le transfert de dominance entre les PR et les PRS se fait donc toujours, aussi bien dans l'ensemble des premiers que dans celui des reimerps, au profit des PRS, aux alentours supérieurs de 10⁸; ce doit aussi être très probablement le cas pour toute famille infinie de premiers particuliers (palindromes, permutables, ...).
- QUESTION 6.
Quelle est l'intérêt de considérer séparément les premiers primaires et les premiers secondaires ?
En plus d'être une tentative de classification à expérimenter, les PRS semblent apporter un gain en termes de données, même si les premiers génériques restent les PR (cf. définition 4).
- GAIN DANS L'ESPACE DES DONNEES -
Un PR à 7 chiffres, comme p* = 2721413, est défini par les 7 données (non nulles) (2,7,2,1,4,1,3).
Un PRS à 7 chiffres, comme p₀ = 5000101 ou 5[3]1[1]1, est défini par 5 données au lieu de 7; on pourra le noter (5,1,1;3,1).
Observons que 5000011 qui sera noté 5[4]1[0]1 et donc (5,1,1;4,0), est défini aussi par 5 données.
De manière générale, pour un nombre n à k chiffres (k > 0), n = ∑_i=1^i=k a_i 10^k-i, a₁ > 0, s'il s'agit d'un premier primaire p*, TOUS les a_i sont NON NULS et il y a donc k données; s'il s'agit d'un premier secondaire p₀, il existe au moins un a_i (et le plus souvent un grand nombre suivant la taille du nombre choisi) NUL; il y aura donc ici strictement moins de k données, et en fait le plus souvent beaucoup moins !
Pour de la protection de données (voire du cryptage) on peut utiliser un PRS à k chiffres, de type 5[0]1[0]1 par exemple, avec des grands nombres de zéros dans les [0] intermédiaires; il faudra bien moins de données que pour un p* avec k données pour ses k chiffres.
Ainsi à partir d'un pp de type bipremier comme 627469 = 233*2693, on peut générer un p₀ à 44 chiffres:
6*10⁴³ + 2*10³⁸ + 7*10²⁷+ 4*10¹⁸ + 6*10¹³ + 9 (= 60000200000000007000000004000060000000000009); on le notera 6[4]2[10]7[8]4[4]6[12]9; il nécessite 11 données: (6,2,7,4,6,9;4,10,8,4,12), soit 6 chiffres et 5 nombres de zéros des [0], contre les 44 données d'un entier à 44 chiffres.
Par ailleurs, avec (6,2,7,4,6,9;38), soit 7 données seulement (6 chiffres et le nombre total des zéros), on peut définir l'ensemble fini des PRS (engendrés par 627469) qui ont un total de exactement 38 zéros (le prépremier générateur nécessitait 44 données).
Ainsi on peut déterminer un grand PRS par seulement la liste (ordonnée) de ses chiffres et la liste (ordonnée) des nombres de ses zéros intermédiaires (tous les [0], y compris ceux qui seraient vides, comme précisé plus haut avec 5000011).
Autre exemple, les p₀ de type (1,2,3,7;98), PRS à 102 chiffres, issus du premier 1237; il existe 69 premiers p₀ à 102 chiffres; choisissons
10¹⁰¹ + 2*10²¹ + 3*10⁵ + 7, on le notera
1[79]2[15]3[4]7, soit (1,2,3,7;79,15,4) ce qui nécessitera 7 données.
Les p₀ de type (1,2,3,7;997) PRS à 1001 chiffres; il existe plus de 70 tels nombres, on choisit le plus petit de la liste:
10¹⁰⁰⁰ + 2*10²⁸ + 3*10²³ + 7 que l'on notera
1[971]2[4]3[22]7, soit (1,2,3,7;971,4,22); il sera parfaitement défini lui aussi par 7 données.
On peut faire la même chose avec des nombres à 4 ou 5000 chiffres ou (beaucoup) plus.
Pour définir un PRS, il faudra naturellement prendre un prépremier correct et un nombre de chiffres (et donc de zéros) associés à des solutions possibles.
En résumé, on peut énoncer

- PROPRIETE 8 - Un PR à k chiffres nécessite k données pour le définir, un PRS à k chiffres, dont r (< k) non nuls et z (= k - r) zéros, nécessite r + (r -1) données; ce nombre est d'autant plus inférieur à k que z est grand devant r (r - 1 étant alors largement inférieur à z). Une famille finie de PRS à k chiffres et z zéros peut être définie avec k + 1 données.

Reprenons nos deux exemples précédents:
1[79]2[15]3[4]7, soit (1,2,3,7;79,15,4), nécessite 7 données (nombre à 102 chiffres)
1[971]2[4]3[22]7, soit (1,2,3,7;971,4,22), nécessite 7 données (nombre à 1001 chiffres).
En tant que code, ce serait un nombre à 4 chiffres non nuls suivi de 3 nombres.
Pour 1[79]2[15]3[4]7 (à 102 chiffres):

1237

79

15

4

Pour 1[971]2[4]3[22]7 (à 1001 chiffres):

1237

971

4

22

A partir des premiers 2[7]3[7]3 et 1[830]2[44]3[24]7, formons le bipremier produit des deux, un nombre de 2722 chiffres, 2[7]3[7]3[814]4[7]6[7]6[28]6[7]9[7]9[7]142[5]213[5]213[859]6[7]9[7]9[7]142[5]213[5]213[814]4[7]6[7]6[28]6[7]9[7]9[7]14[6]21[6]21; il est formé de 42 chiffres non nuls et de 2680 zéros, et peut être parfaitement défini par 83 données:
(2,3,3,4,6,6,6,9,9,1,4,2,2,1,3,2,1,3,6,9,9,1,4,2,2,1,3,2,1,3,4,6,6,6,9,9,1,4,2,1,2,1;7,7,814,7,7,28,7,7,7,0,0,5,0,0,5,0,0,859,7,7,7,0,0,5,0,0,5,0,0,814,7,7,28,7,7,7,0,6,0).
Dans le cadre éventuel de la protection de données, vaut-il mieux chercher à décomposer un bipremier ou à déterminer un premier secondaire ?
Les nombreux zéros d'un PRS sont-ils alors un avantage ou un inconvénient ?
Exemples de PRS avec beaucoup plus de 0 que de chiffres non nuls:
1[32]123456789123461821 premier secondaire à 51 chiffres est généré par le premier 112345678912345811;
1[90]789456125773 premier secondaire à 103 chiffres est généré par le prépremier 1789456125773 = 23*77802440251;
le premier secondaire 1[992]123457527 à 1002 chiffres est généré par le prépremier 1123457527 = 59*19041653, 19041653 étant lui-même généré par le prépremier 1941653 = 7*103*2693.
Pour terminer faisons une comparaison entre les ordres de grandeur de notre réalité physique et ceux des nombres (premiers ou pas) que l'on arrive à manipuler facilement de nos jours.
- QUELQUES ORDRES DE GRANDEURS -
L'âge de l'univers, estimé à environ 13,8*10⁹ années, exprimé en secondes donne 10¹⁷.
Le prix Nobel de Physique 2023 a été attribué à P. Agostini, A. L'Huillier, F. Krauz, qui ont su produire des impulsions de lumière attosecondes, ce qui permet quasiment de 'voir' le mouvement des électrons; une attoseconde vaut 10^-18 secondes.
Le diamètre estimé de l'univers observable actuel est environ 8,8*10²⁶ m.
Le nombre d'atomes estimé de l'univers observable se situe, suivant les auteurs, entre 10⁸⁰ et 10⁸⁵.
A côté de ces ordres de grandeur de notre environnement physique, les expérimentations numériques sur les nombres premiers, avec l'énorme progression de nos ordinateurs, concernent des nombres qui deviennent difficilement 'imaginables', mais que l'on peut et sait 'manipuler' pourtant.
On a d'ailleurs, dès les années 1938-39, éprouvé le besoin de définir des grands nombres comme le gogol (10¹⁰⁰) et le gogolplex (10¹⁰¹⁰⁰) (sans parler de l'extrêmement petit avec le gogolminex valant 10^-gogol), tous ces nombres étant déjà hors d'atteinte d'une claire représentation mentale humaine.
Avec un PC de qualité correcte et un codage efficace:
quelques petites secondes de calcul nous permettent de traiter et calculer des premiers de plusieurs centaines de chiffres (déjà bien plus grands que le nombre d'atomes de l'univers);
quelques heures de calcul suffisent pour exprimer des premiers de plusieurs dizaines de milliers de chiffres;
avec de plus longs temps de calcul on peut aller beaucoup plus loin, comme avec le plus grand nombre premier récemment obtenu (cette fois avec un ensemble de nombreux microprocesseurs connectés entre eux), cité plus haut, qui possède quant à lui 41.024.320 chiffres.
Bien au-delà des ordres de grandeur naturellement associés à notre univers observable (qui, disons au maximum ((++++)), sont inférieurs à l'équivalent de nombres d'une centaine de chiffres), les fascinantes recherches en cours et à venir sur les nombres premiers avec l'aide des supercalculateurs exaflopiques (qui, pour le moment, réalisent 10¹⁸ opérations en virgule flottante par seconde, en attendant le zettaflop voire le yottaflop avec 10²⁴ opérations par seconde), devraient nous permettre une compréhension de plus en plus fine de leur organisation à travers l'infinité des entiers naturels et peut-être une explication précise sur leur rôle.

- 4 - CONCLUSION -

Nous proposons une nouvelle approche des premiers en distinguant les premiers primaires, sans aucun 0 dans leur écriture décimale, et les premiers secondaires, qui ont au moins un 0 dans leur expression.
On définit les prépremiers qui sont, soit des premiers primaires, soit des nombres composés impairs du type i*j*k* ..., avec i, j, k, ... premiers strictement supérieurs à 5 non nécessairement différents, sans zéro dans leur écriture décimale, et différents de tout produit 7*11_n, n >= 2, 11_n représentant un quelconque répunit.
Tous les premiers secondaires sont définis à partir des prépremiers, un prépremier pp engendrant la famille infinie de ses 0-successeurs premiers {pp}; un 0-successeur premier de pp a dans son écriture décimale, les mêmes chiffres non nuls dans le même ordre que pp et un certain nombre (qui devient vite très grand) de zéros intermédiaires.
Tout premier primaire engendre une infinité de premiers secondaires, alors qu'un premier secondaire ne peut définir au mieux qu'un seul premier primaire, ce qui précise le caractère générique des premiers primaires d'où leur nom.
On montre que dans tout intervalle [2, M], dès que M > M* (= 203.850.433), les premiers secondaires sont plus nombreux que les premiers primaires, et deviennent d'autant plus nombreux que M croît.
Dans [2, 3*10¹⁰], il ne peut y avoir, au plus, que nbS* = 48.140.745 PRS consécutifs (sans PR intermédiaire), alors qu'il ne peut y avoir, au plus, que nbR* = 80 PR consécutifs (sans PRS intermédiaire).
Dans l'intervalle [10¹², 10¹³], nous avons pu exhiber une suite de près de 4 milliards de PRS consécutifs et une suite de (seulement) 103 PR consécutifs.
Nous conjecturons que, dans N, nbS* est croissant vers l'infini alors que nbR* est fini borné.
On termine par quelques remarques et questions sur l'intérêt de cette classification des premiers en deux sous-familles et peut-être sur les avantages que pourraient apporter les premiers secondaires.

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(+) Un repdigit (ou nombre uniforme) est formé par la répétition d'un seul chiffre. Cas particulier de repdigit, un repunit est un entier naturel dont l'écriture dans une base donnée ne comporte que des chiffres 1. Un repdigit de 7, par exemple, peut se noter U₇(p) = 7*(10^p -1)/9, p > 1; un répunit se note le plus souvent 11_n ou (10ⁿ - 1) / 9 (= 10⁰ + 10¹ + 10² + ... + 10^{n - 1}), n > 0.
Dans le texte on a préféré n'utiliser que les répunits et donc noter le repdigit de 7 sous la forme 7*11_n, n > 1.
(++) Démonstration du caractère premier de l'indice p d'un répunit premier (Cino Hilliard, 2008)
Considérons un répunit premier 11_p = (10^p - 1)/9 et supposons que p ne soit pas premier. On peut alors le représenter par p = m*n.
On a ainsi 10^m*n - 1 = (10^m)ⁿ - 1 et donc (avec l'identité classique aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^n-1 + a^n-2*b + ... + b^n-1), 10^m - 1 divise 10^m*n - 1. Puisque 9 divise 10^m - 1, en notant (10^m - 1)/9 = q, il s'ensuit que q divise (10^p - 1)/9, contrairement à la propiété de nombre premier de 11_p.
(+++) Exemple de code pour le logiciel Pari/Gp qui donnera les nombres de PR ou de PRS dans un intervalle choisi [m, M]:
zero(k) = my(d=digits(k)); vecprod(d)==0;
nbrPRS(m,M) = {nb=0;forprime (k=m,M,if(zero(k)==1, nb+=1));nb}
nbrPR(m,M) = {nb=0;forprime (k=m,M,if(zero(k)==0, nb+=1));nb}
(++++) A moins de chercher à déterminer, assez artificiellement, dans l'univers observable, par exemple, le nombre de volumes de Planck, c'est-à-dire de cubes dont le côté vaut la longueur de Planck (de l'ordre de 1,62*10^-35), auquel cas on obtiendrait environ 10¹⁸⁶, nombre pourtant encore bien largement inférieur aux grands nombres premiers obtenus en quelques secondes de calcul.

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(*) Professeur honoraire Université Paul Sabatier, Toulouse, France, webmaster du site SAYRAC .
Une version de ce texte est publiée dans zenodo.org le 14/03/2026, zenodo.org/records/19022321.

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[OEIS6] L. Beedassy, https://oeis.org/A157711, 2009.
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